Fondamenti della meccanica atomica
quantità dell'ordine di h, si è indotti a ritenere che si possa ottenere una prima approssimazione trascurando h, una seconda approssimazione trascurando
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con e costanti. Tale approssimazione però cessa di esser valida nelle vicinanze dei due punti critici A e B. Ne segue che per rappresentare un
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dalla meccanica ondulatoria: si noti però che nel caso di un grado di libertà oscillatorio abbiamo trovato che la migliore approssimazione si ottiene
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(estendendo le considerazioni del § 51 mediante la separazione delle variabili) come conseguenze di prima approssimazione dell'equazione di Schrödinger e delle
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» : se invece si usa la formula (303), (che trattandosi di un moto di tipo oscillatorio rappresenta una migliore approssimazione) si trova
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cioè ritenere p misurato (in unità quantistiche) da l anzichè da k: la (329') dà un'approssimazione un po' migliore della (329), e per k = 1 dà
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elettroni sotto l'azione dell'attrazione nucleare e della loro mutua repulsione (che non è affatto trascurabile, come è, in prima approssimazione
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Nel caso dei sistemi idrogenoidi, i livelli delle varie colonne coinciderebbero tutti (nella nostra approssimazione) e perciò si rappresentano in una
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(1) Si osservi che il teorema vale con la stessa approssimazione anche se si fa corrispondere la riga dello spettro quantistico, di frequenza (354
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Si noti che per calcolare (in prima approssimazione) gli autovalori perturbati non è stato necessario conoscere le autofunzioni perturbate : molte
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(trascurando quantità del secondo ordine e indicando, al solito, con l'apice la prima approssimazione) dà
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ha in prima approssimazione , e, poichè, nella (171) la figura appunto moltiplicata per , basta sostituire con per ridursi al caso di .
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Proseguendo in modo analogo si calcolerebbero le autofunzioni di seconda approssimazione, e mediante queste la terza approssimazione di , e così via
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Passiamo ora al calcolo degli autovalori in seconda approssimazione. Per ricavare dalla (173) in seconda approssimazione è necessario inserirvi i
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Poichè le L sono, al pari delle a, piccole del primo ordine, la seconda sommatoria sarà, in prima approssimazione, trascurabile, e resterà
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Così, dalla risoluzione dell'equazione secolare (186), si hanno, in prima approssimazione, le perturbazioni degli autovalori del multipletto.
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ma a . Le si possono chiamare le autofunzioni di approssimazione d'ordine zero.
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prima approssimazione). È questo un caso che si verifica abbastanza spesso.
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«scindere» il livello energetico in un gruppo di p livelli vicini, dati, in prima approssimazione, da , . Al livello corrispondevano p stati stazionari
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Riprendiamo ora il caso generale, e occupiamoci della ricerca (in prima approssimazione) delle autofunzioni perturbate date dalla (189). È opportuno
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Per ricavare le , e la seconda approssimazione delle operiamo ora analogamente, moltiplicando la (203) per e integrando: osserviamo però prima che
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. Trascurando questi ultimi, e sostituendo con , si ricava per le il valore di prima approssimazione
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ovvero, in prima approssimazione, utilizzando la (206)
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Quindi la seconda approssimazione degli autovalori del multipletto o del livello multiplo è data da
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Per completare la conoscenza in prima approssimazione delle autofunzioni perturbate, mancano solo i coefficienti , che si determinano (come nel
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Passiamo alla determinazione (in pratica assai più importante) degli autovalori perturbati in seconda approssimazione: questi si ricavano dalla (209
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alla prima approssimazione ed al caso non degenere.
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approssimazione (218), la formula si identifica con la (177). Si osservi che i coefficienti a del § 38 (in cui si è trascurato di scrivere l'indice n) si
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, trascurando il prodotto del secondo ordine , e sostituendo perciò con la sua prima approssimazione ,
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(dove l'apice indica che si tratta di prima approssimazione). Integrando tra 0 e t si hanno i valori di prima approssimazione delle
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che, sostituiti nella (221), ci danno lo stato perturbato in prima approssimazione.
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Sostituendo poi le (228) nei secondi membri delle (222), e integrando fra 0 e t si otterrebbe facilmente la seconda approssimazione, e così per le
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(221), dove le , tenuto conto delle (228) e dei valori iniziali (229), sono date in prima approssimazione da
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Se si considera trascurabile il primo termine a causa del fattore , si ha l'approssimazione non relativistica
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Di qui si vede intanto come le formule di Dirac contengano implicitamente, almeno in prima approssimazione, l'esistenza di un momento magnetico
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Mostreremo ora che l'elettrone di Dirac si comporta (in prima approssimazione) come se avesse un momento magnetico , non solo nei riguardi dei
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Nel caso generale, si trova che la magnetizzazione equivalente è data, nella stessa approssimazione, da
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energia cinetica, in funzione dell'impulso p, è espressa in prima approssimazione da
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alle prime, così da poterle trascurare in una approssimazione preliminare (approssimazione d'ordine zero), e introdurle poi, col metodo delle
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In prima approssimazione, la perturbazione del valore dell'energia si trova, come si è visto al § 39, risolvendo l'equazione
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Passiamo ora alla prima approssimazione, tenendo conto dell'azione reciproca tra le due particelle, che introdurremo come perturbazione, seguendo i
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Ricerchiamo ora le autofunzioni di approssimazione zero corrispondenti a questi autovalori: esse sono date (v. § 39) da:
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con costanti. Poichè alla corrisponde in prima approssimazione l'autovalore e a l'autovalore Ea, esse potranno scriversi sotto la forma:
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delle soluzioni di approssimazione zero (380): in altre parole, la nostra si può considerare una combinazione lineare, a coefficienti lentamente
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In molti casi, in un sistema con due elettroni le forze dovute agli spin sono trascurabili in prima approssimazione. Formalmente, ciò significa che
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La prima di queste ipotesi consente (come si è visto al § 45 nell'approssimazione di Pauli) di trattare il problema imperturbato separando la
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Ciò premesso, le due autofunzioni di approssimazione zero, simmetrica e antisimmetrica, (381), (381'), si scrivono ora, tenuto conto della (387):
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(392'), che chiameremo : esse corrispondono tutte, in approssimazione zero, all'autovalore .
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Le tre prime autofunzioni corrispondono (nella nostra approssimazione) all'autovalore
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cui l'ottica geometrica rappresenta solo una prima approssimazione. Analogamente — secondo Schrödinger — la meccanica classica del punto rappresenta
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Accademia della crusca
